Generaliserad integral

När man beräknar vanliga integraler så använder man gränsvärde. Man kan säga att man har ett "startvärde" och ett "stoppvärde". Men när man räknar med generaliserade integraler så är integrationsintervallet obegränsat. Det kan även vara så att funktionen är obegränsade. Med hjälp av Wolfram Alpha så beräknade vi en generaliserad integral:

GI01: Obegränsade integrationsintervall

a) Beräkna integralen och tolka resultatet geometriskt.

Ifrån Wolfram Alpha fick vi det här svaret:

När man räknar med obegränsade integraler så får man inte samma typ av svar som när man beräknar integraler med ett integrationsintervall. Med en bild av integralen kan vi tolka resultatet. 

Det som är intressant för oss är formen som integralen har i den fjärde kvadranten. Där anser vi att när integralen går mot en punkt b, som den når i oändligheten, så går värdet av integralen mot noll. Arean av området begränsas av y = x^-x, linjen x = b samt de positiva koordinataxlarna. De gör att integralen kan beskrivas med 1 - e^-b. 

Ytan av en rotationskropp

Den andra delen av kapitlet "Derivata och integral" handlar om att beräkna ytan (mantelarean) av rotationskroppar. Formeln för att beräkna en rotationsyta är:

Med den här formeln löste vi uppgiften:

RY04 Beräkna mantelarean av den rotationskropp som uppkommer då det angivna området roterar kring x-axeln. 

Precis som i förra uppgiften löste vi uppgiften genom att använda oss av Wolfram Alpha. 

                                           

Den här bilden visar inte hur rotationskroppen ser ut, utan det visar hur integralen för uttrycket som ger svaret till hur stor mantelarean är ser ut.    

Enligt Wolfram Alpha är mantelarean av rotationskroppen 1.14 längdenheter. 

Nästa del kommer handla om generaliserade integraler!

Längden av en kurva

Den första delen av avsnittet "Derivata och Integral" handlar om att bestämma längden av en kurva inom ett givet intervall. Längden l av en kurva till funktionen y=f(x) mellan punkterna (a,f(a)) och (b,f(b) bestäms av

Vi använde formen ovan för att lösa uppgiften:

L01: Bestäm kurvans längd i det givna intervallet.

a)

 Vi löste problemet genom att använda ett digitalt verktyg, i det här fallet Wolfram Alpha.

Från den digitala lösningen ser vi att kurvan är 6 längdenheter lång. Som fortsättning på vårt arbete ska vi antingen räkna fler uppgifter på det här sättet, eller försöka lösa en liknande uppgift algebraiskt.  

Blogg för derivata och integral

Blogg för derivata och integral

Vi är två gymnasieelever som har skapat den här bloggen för att kunna dokumentera vår fördjupningsuppgift i Matematik 5. Vi kommer att fördjupa oss i derivata och integraler, och vi kommer fokusera på att undersöka längden av kurvor till funktioner och rotationsytor. Vi kommer även att arbeta med generaliserade integraler.

Robin Edquist Svedin
Oskar Adenmark Karlsson